张量积的存在性

Written by: algebnaly

Date: 2025-11-12T02:42:47.000Z

介绍

如何使用两个向量空间V,WV,W得到第三个向量空间?

可以使用笛卡尔积V×WV \times W。

此外还可以使用张量积V⊗WV \otimes W。

定义张量积

两个向量空间V,WV,W的张量积是一个向量空间V⊗WV \otimes W且带有一个双线性映射

τ:V×W→V⊗W \tau: V \times W \rightarrow V\otimes W

使得对于任意双线性映射

B:V×W→UB: V \times W \rightarrow U

存在唯一的线性映射

B~:V⊗W→U \tilde B: V \otimes W \rightarrow U

使得如下的图交换

V×W→τV⊗WB↓B~↓U=U\begin{CD} V \times W @>\tau>> V \otimes W \\ @VBV V @V\tilde BVV \\ U @= U \end{CD}